Bihar Board Class 12 त्रि-विमीय ज्यामिति Objective Questions
Bihar Board Class 12 त्रि-विमीय ज्यामिति के Objective Questions
यह पृष्ठ बिहार बोर्ड कक्षा 12 के गणित विषय के अध्याय त्रि-विमीय ज्यामिति से संबंधित वस्तुनिष्ठ प्रश्नों (Objective Questions) को प्रस्तुत करता है। इन प्रश्नों का अभ्यास छात्रों को अवधारणाओं को स्पष्ट करने और परीक्षा की तैयारी में मदद करेगा।
त्रि-विमीय ज्यामिति में दिशा कोसाइन, रेखा का समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण, समतल का समीकरण जैसे महत्वपूर्ण टॉपिक शामिल हैं। नीचे दिए गए लिंक से आप विभिन्न वर्षों और अध्यायों के प्रश्नों तक पहुंच सकते हैं।
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त्रि-विमीय ज्यामिति: महत्वपूर्ण अवधारणाएं
त्रि-विमीय ज्यामिति (Three Dimensional Geometry) स्थान में बिंदुओं, रेखाओं और समतलों का अध्ययन है। बिहार बोर्ड कक्षा 12 के पाठ्यक्रम में इस अध्याय से परीक्षा में वस्तुनिष्ठ प्रश्न पूछे जाते हैं।
दिशा कोसाइन और दिशा अनुपात
किसी रेखा की दिशा कोसाइन (Direction Cosines) वे कोसाइन मान हैं जो रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बनाए गए कोणों के होते हैं। यदि एक रेखा x, y और z अक्षों के साथ क्रमशः α, β और γ कोण बनाती है, तो उसकी दिशा कोसाइन l = cos α, m = cos β, n = cos γ होंगी। इनके वर्गों का योग सदैव 1 होता है: l² + m² + n² = 1.
दिशा अनुपात (Direction Ratios) वे संख्याएँ हैं जो दिशा कोसाइन के समानुपाती होती हैं। यदि a, b, c दिशा अनुपात हों, तो दिशा कोसाइन होंगी: l = a/√(a²+b²+c²), m = b/√(a²+b²+c²), n = c/√(a²+b²+c²)।
अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण
त्रि-विमीय निर्देशांक में रेखा का समीकरण दो प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:
- कार्तीय रूप (Cartesian Form): यदि रेखा बिंदु (x₁, y₁, z₁) से गुजरती है और उसके दिशा अनुपात a, b, c हैं, तो उसका समीकरण होगा: (x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z - z₁)/c.
- सदिश रूप (Vector Form): सदिश रूप में, रेखा का समीकरण r = a + λb होता है, जहाँ 'a' रेखा पर स्थित एक बिंदु का स्थिति सदिश है और 'b' रेखा के समानांतर सदिश है।
दो रेखाओं के बीच का कोण
यदि दो रेखाओं के दिशा अनुपात क्रमशः a₁, b₁, c₁ और a₂, b₂, c₂ हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस सूत्र से निकाला जाता है:
cos θ = |(a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂)| / √(a₁²+b₁²+c₁²) * √(a₂²+b₂²+c₂²)
यदि दोनों रेखाएँ लंबवत हैं, तो a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 होगा। यदि वे समांतर हैं, तो a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होगा।
समतल का समीकरण
त्रि-विमीय ज्यामिति में समतल के समीकरण के विभिन्न रूप हैं:
- अभिलंब रूप (Normal Form): lx + my + nz = p, जहाँ l, m, n समतल के अभिलंब की दिशा कोसाइन हैं और p मूल बिंदु से समतल की लंबवत दूरी है।
- सामान्य रूप (General Form): ax + by + cz + d = 0, जहाँ a, b, c अभिलंब के दिशा अनुपात हैं।
- अंत:खंड रूप (Intercept Form): x/a + y/b + z/c = 1, जहाँ a, b, c क्रमशः x, y, z अक्षों पर अंत:खंड हैं।
इन सभी अवधारणाओं को समझने के लिए नीचे दिए गए वस्तुनिष्ठ प्रश्नों का अभ्यास उपयोगी साबित होगा। प्रत्येक प्रश्न के साथ उसका हल और स्पष्टीकरण दिया गया है ताकि आपकी समझ पक्की हो सके।